摘 要 針對降低線性代數學習難度的問題，文章提出在學習線性代數過程中靈活構造反例以解決問題的思路。通過文獻研究法和經驗總結法，討論線性代數中適合運用反證法研究的定義和定理等問題，結合實例指出如何在學習線性代數過程中合理構造反例以理解和掌握理論本質。分析發現，構造反例可為定義的理解、定理的掌握和命題的正誤判斷提供簡捷的思路，提高學習效率。

　　關鍵詞 線性代數 反例構造 定義 定理

　　0 引言

　　線性代數以線性空間為研究對象，涉及行列式、矩陣、矩陣的初等變換與線性方程組等，定義、定理、性質、推論等比較多，難度較大。但是學習線性代數具有很大益處，一方面可以進一步提高抽象思維能力和嚴密的邏輯推理能力，為進一步學習和研究打下堅實的理論基礎;另一方面為立志報考研究生的同學提供必要的線性代數理論知識、解題技巧和方法。并且，線性代數作為一種數學建模方法，是科研工作者必須掌握的重要數學方法。

　　由此可見，線性代數的內容抽象性以及應用重要性，要求學習者能夠靈活運用數學方法理解線性代數中的問題。當從正面解決線性代數問題比較困難時，構造反例不失為一種良好的方法。構造反例能夠幫助學習者正確理解抽象的概念定義和定理內容，促進學習者對線性代數內容的快速掌握和熟練應用，提高學習效率并幫助取得有效的學習成果。通過具體實例探析構造反例在線性代數學習中的運用。

　　1 反例

　　數學中的反例指符合命題條件，而不符合該命題結論的例子。所構造的反例是建立在數學上已證實的理論與邏輯推理基礎上的、并可指出命題不成立的例子。在學習線性代數過程中，可根據定義、定理以及命題構造反例以幫助理解理論本質，促進取得學習成果。

　　2 構造反例利于掌握定義

　　線性代數中的定義凝練、精確，內涵豐富。真正透徹理解并牢固掌握這些定義，需要學習者把定義本身的簡短話語擴展，從多方面思考，提煉定義本質。

　　(1)定義：設是由復數組成的集合，其中包含0和1。如果中的任意兩個數(可相同)對加、減、乘、除四種代數運算是封閉的，那么就稱為一個數域。

　　此定義可以擴展出多個結論，下面示范如何運用構造反例的方法將易混淆的結論分辨清楚。

　　例1 整數集是數域。

　　此結論不正確。整數集合中取兩個數2和7，互相進行除法運算會產生分數，不在此集合內，故整數集不是數域。

　　例2 奇數集是數域

　　此結論不正確。奇數集合中取兩個數3和7，兩者減法運算的結果4不在奇數集合中，故奇數集不是數域。

　　(2)定義： 給定維向量組， ，…，，若存在一組不全為零的實數， ，…，，使得 + + … + = 0，則稱， ，…，線性相關;否則，稱線性無關。

　　簡短幾句話，即定義了這個重要的概念。為加深理解，現通過構造反命題的方法來理解這個定義。

　　例1 若有不全為零的個數， ，…，，使 + + … + + + + … + = 0，則向量組， ，…，線性相關，向量組， ，…，線性相關。

　　此結論不正確。例如取 = (0，1) ， = (1，0)， = (0，-1)， = (-1，0)，顯然存在，不全為零，使得 + + + = 0。但，線性無關，， 線性無關。

　　例2 如果，，…，線性無關，， ，…，線性無關，則， ，…，， ， ，…，亦線性無關。

　　此結論不正確。例如取 = (0，1) ， = (1，0) ， = (0，-1)， = (-1，0)，，線性無關，，線性無關。但取 = = 1，則 + + + = 0，故可得，，，線性相關。

　　例3 設，，…，和，…，是兩個維向量組，如果(+ )+( + )+…+( + )=0成立必需=0，=0，…，=0，則，，…，和，，…，定線性無關。

　　此結論不正確。例如取 = (0，1) ， = (1，0) ， = (0，2)， = (2，0)， + = (0，3)， + = (3，0)，則( + ) + ( + ) = 0成立必需 = 0， = 0。但2 + 2= 0，故，，，線性相關。

　　上述反例不僅給出對結論的判斷，而且加深學習者對數域和線性相關性定義的理解，避免再出現此類認識上的錯誤。

　　3 構造反例利于理解定理

　　在學習過定義的基礎上，掌握相應的定理，才能夠更好地解決線性代數中的各種問題。學習者會發現線性代數定理特點顯著，存在某些規律不同于其他數學科目定理的現象。因此，只有掌握線性代數定理的本質，才能熟練運用與解題。而運用反例恰有利于我們解決這一問題。

　　(1)定理：在矩陣的乘法中消去律不成立，在矩陣的乘法中消去律不成立，即由AX=AY不能得出矩陣X與矩陣Y相等。

　　自學習數學這門學科以來，接觸到的乘法運算都是滿足消去律的。學習線性代數后，此處矩陣卻不滿足消去律。思考后發現，其根本原因是矩陣乘法特殊的運算規則，即前一個矩陣的行與后一個矩陣的列中元素對應相乘。直接理解這一原因比較困難，故運用舉反例的方法解決這一問題。

　　例1 若AB=AC，且A≠0，則B=C。

　　此命題不正確。例如取，滿足A ≠ 0，，。雖然AB=AC，但是B≠C。

　　例2 A2 = A，則A= 0或A=E。

　　此命題不正確。例如取，則A2 =A，但A ≠ 0且A ≠ E。同理可知，由A(XY) = 0，不能得出X =Y的結論。

　　看到這樣簡單的反例，以上易犯的錯誤被一舉擊破，學習者一目了然，有效避免慣常錯誤。同時，也激發學習者繼續思考矩陣運算中消去律成立的條件。進而研究得出使AB=AC B=C的條件是A是可逆的。這樣的思考可增加學習者對問題研究的深度和廣度，訓練學習者的主動思考能力，也增添了學習的趣味。

　　(2)定理：向量組， ，…，(m≥2) 線性相關的充要條件是組內某一向量可由其余向量線性表示。例：如果向量組，，…，中某一向量不能被其余向量線性表示，則，，…，線性無關。

　　此結論不正確。取 = (0，0)，= (0，1)，即有不能被其余向量線性表示，但，卻相關。

　　4 構造反例利于判斷命題真偽

　　要證明一個命題為假命題，只要構造一個反例來說明命題不成立即可。所以，反例是滿足命題題設但不滿足命題結論的一個實例，構造反例就是證明某個命題是假命題的一種方法。所構造的反例要求簡單、明確、有說服力，從而才能快速準確判斷命題真偽。

　　(1)命題：若AB = 0，則A和B中必有一個為零矩陣。

　　此命題不正確的。例如取，，滿足AB = 0 ，但A和B均不是零矩陣。

　　(2)命題1：零陣的特征值為0，則特征值為0的矩陣都是零陣。

　　此命題不正確。例如的特征值為0，但是不是零矩陣。

　　命題2：單位陣的特征值為1，則特征值為1的矩陣都是單位陣。

　　此命題不正確。例如的特征值為1，但不是單位陣。

　　若學習者在學習過程中，能夠熟練構造反例，則可節約做題時間，提高學習效率。

　　(3)命題： 矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的。為此提出以下結論：若矩陣A、B有不同的特征值，則不能對應同一個特征向量。

　　此結論不正確。例如取，，A和B對應的特征值是1和2 ，但它們有同樣的特征向量 (1，0)。這個反例直接給出了矩陣中特征值和特征向量的關系，即某一特征向量可對應兩個矩陣的兩個不同的特征值，也明確了原命題中是一個矩陣的某一特征向量只對應一個特征值。

　　(4)命題：等價向量組的秩是相等的。為此提出以下結論：如果，，…，和，，…，的秩相等，則兩個向量一定等價。

　　此結論不正確。例如取Ⅰ：=(1，0，0，0)，=(0，1，0，0)，Ⅱ：=(0，0，1，0)，=(0，0，1，1)，其中向量組Ⅰ的秩是2，向量組Ⅱ的秩是2，但是Ⅰ與Ⅱ不等價。此反例直接指出原命題的逆命題不成立，無需繁瑣文字證明。

　　(5)命題：含有個未知數個方程的線性方程組

　　有解的必要條件是行列式

　　，但不是充分條件。

　　此命題正確。例如方程組，雖然行列式，但是此方程組無解。此時，這一反例恰當地強調了命題中的“必要條件”，加深學生理解與記憶，以免判斷此類方程組是否有解時再出現錯誤。

　　以上幾個例子說明反例對抽象的線性代數理論中的命題結論給了必要的補充和完善，有利于學習者理解定理的本質，達到靈活運用定理以輔助解題的目的。

　　5 結論

　　綜上所述，構造反例是一個快速而無規則的探索性過程，對學習者有不可估量的裨益，適用于各個章節的理論當中，在線性代數中的地位是不容忽視的。論文網站一方面，構造反例有利于學習者準確理解定義和定理，提高學習效率，促進養成發現問題、糾正錯誤和解決問題的學習習慣。另一方面，構造反例有利于培養從多方面、多角度認識問題和解決問題的習慣，增強思維敏捷性和思維判斷力。作為21世紀的大學生，應當積極培養自主學習能力和獨立思考能力，尤其培養創造性思考能力。要達到培養這些能力的目的，應當重視構造反例這一重要途徑。因此，在學習線性代數的過程中，應當合理構造反例，以激發興趣、提高效率和廣開思路。

　　參考文獻

　　[1] 許建平.巧借反例法提高教學實效[J].考試周刊，2013.46：68-69.

　　[2] 孫兵.線性代數教學中的反例構造[J].數學理論與應用，2011.2：39-40.

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