［摘要］偏微分方程求解既是“數學物理方程”課程教學的主體內容，又是課堂教學的重難點。求解偏微分方程的方法有很多，如特征線法、波的反射原理、分離變量法、格林函數法、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。學會求解一些簡單的偏微分方程是數學專業學生學好“數學物理方程”課程乃至為以后繼續深造打下基礎的關鍵。因此，揭示偏微分方程求解方法中所蘊含的數學思想，幫助學生系統而深入地掌握求解的方法顯得尤為重要。以方程特殊形式解的求解、分離變量法、傅里葉變換法為例，結合具體的定解問題求解來闡述將偏微分方程問題化歸為常微分方程問題這一思想在偏微分方程求解中的應用。

　　［關鍵詞］研究型教學；數學物理方程課程；常微分方程理論

　　一、引言

　　“數學物理方程”課程既是數學與應用數學專業的一門重要專業課，也是物理、力學等理工科專業的基礎課程。該課程的研究對象是一些具有實際應用背景的偏微分方程。課程的主要內容是介紹如何將物理、力學和工程技術等應用學科中的現象和實際問題通過數學建模的過程轉化為偏微分方程定解問題，求解這些定解問題的基本方法，研究解的性質的技巧，利用理論分析結果解釋一些物理現象或解決實際問題。作為一門應用性較強的課程，“數學物理方程”課程的教學目標不僅需要讓學生理解和掌握偏微分方程的基本概念、求解方法和理論，更應培養學生運用數學工具解決實際問題的能力，從而提高學生的科學素養。在本科生課堂教學中，如何教會學生求解偏微分方程是教學的一大重點和難點。實際上，求解一些簡單的偏微分方程的方法有很多，如特征線法、波的反射原理、分離變量法、格林函數法、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。系統掌握這些方法的關鍵在于深刻理解其中所蘊含的數學思想。本文將以特殊形式解的求解、分離變量法、傅里葉變換方法為例，結合具體的定解問題求解來展示將偏微分方程問題化歸為常微分方程問題這一思想在偏微分方程求解中的應用，并啟發學生深入思考以下問題：為什么常微分方程理論可以應用于求解偏微分方程；利用分離變量法求解偏微分方程的關鍵點是什么；傅里葉變換作為一種特殊的積分變化為什么可以用于求解偏微分方程；等等。對這些問題進行深入的探討，不僅可以使學生加深對偏微分方程知識的理解，而且有助于發現和深刻認識所學的不同數學知識之間的內在聯系，進一步提升自己的數學能力。

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　　二、具體實例

　　在“數學物理方程”課程中，將偏微分方程轉化為常微分方程進行處理是求解偏微分方程問題的常用思想之一，由此可見常微分方程理論在求解偏微分方程中起著至關重要的作用。下文將從求特殊形式的解、分離變量法、傅里葉變換三個方面介紹常微分方程理論在求解偏微分方程問題中的應用，并分析其本質思想。

　　（一）求偏微分方程的特解

　　“數學物理方程”課程主要研究三類經典的偏微分方程，即波動方程（雙曲型方程）、熱傳導方程（拋物型方程）和拉普拉斯方程（橢圓型方程）。掌握這三類方程的求解方法是“數學物理方程”課程學習的重點之一。眾所周知，對于大部分的數學物理方程，我們都無法求出其精確的解析解。但是對于一些方程，我們可以找到具有某種特殊形式的解，如行波解、自相似解、徑向對稱解等。對這些特解的研究有助于我們更好地了解方程解的性態，進而解釋方程所描述的物理現象。下面通過實例說明在求解三類經典偏微分方程的某些特解時，往往需要借助常微分方程理論。

　　（二）分離變量法

　　分離變量法是求解偏微分方程初邊值問題的一個重要方法。通俗地說，其核心思想是將方程的解（多元函數）的變量進行分離，即寫成若干個只依賴于一個變量的函數之積，由此將偏微分方程的定解問題簡化為若干個常微分方程的邊值問題。下面我們以弦振動方程的定解問題為例來具體說明這一理論。

　　（三）傅里葉變換方法

　　傅里葉變換在數學領域和工程技術方面有著廣泛的應用。作為數學工具，傅里葉變換是求解偏微分方程的有力工具。對于初學者自然會有如下疑惑：為什么能夠利用傅里葉變換來求解偏微分方程，其本質思想是什么，具體的思路是怎樣的，等等。為了更好地回答這些疑問，首先我們簡單回顧一下傅里葉變換的定義及其相關性質[２]。

　　三、結語

　　本文借助實例闡述了將偏微分問題化歸為常微分問題這一思想在偏微分方程求解中的應用，架構了偏微分方程課程與常微分方程理論之間的橋梁。本文所采用的實例是基于三個基本的數學物理方程，但又相對接近于偏微分方程研究的前沿。比如，與方程特殊形式解的求解密切相關的行波解研究和剪切流研究（行波解和剪切流都是特殊形式解），一直是偏微分方程領域的熱門課題；傅里葉變換方法所涉及的傅里葉分析工具在當前偏微分方程研究中發揮著重要的作用。“數學物理方程”作為一門兼具較強的專業性和應用性的課程，無論在純粹數學還是應用數學上都發揮著越來越重要的作用。但是由于該課程內容豐富，問題求解方法多樣，涉及的計算煩瑣，需要的數學工具十分復雜，初學者往往會感到難以適應，繼而望之生畏。因此，如何透過抽象的概念和復雜的計算，讓學生更好地領悟課程的精髓顯得極為重要。為此，在“數學物理方程”課程的教學過程中必須深入淺出，注重剖析各類方程的特征，比較各種方法的異同，以及提煉解決問題的核心思想。此外，在具體教學中還應盡可能多地將偏微分方程理論與常微分方程、泛函分析、積分變換等課程內容串聯起來，啟發學生獨立思考和聯想遷移，這樣不僅可以提高學生分析和解決問題的能力，也能培養學生融會貫通和探索發現的能力。

　　參考文獻

　　［1］丁同仁.常微分方程教程［M］.1版.北京:高等教育出版社,1991.

　　［2］朱長江,鄧引斌.偏微分方程教程［M］.北京:科學出版社,2005.

　　［3］谷超豪,李大潛,陳恕行,等.數學物理方程［M］.北京:高等教育出版社,2012.

　　危蘇婷