［摘要］隨著科學技術在跨領域發展過程中的應用，社會科學的綜合性使函數極值在經濟領域有了更為廣泛的應用價值，在經濟領域中，函數極值可以有效地解決一些不同條件下投入與產出之間的比例關系問題，可以讓最小的投資產出最大的回報，提升效率是函數極值發揮的一個重要價值，既保障了利潤最大化，同時又提升了效率，解決了實際的難題，具有現實社會意義。相關的經濟問題轉化是用函數極值來解決，就需要對函數極值的理論及其在高等數學的應用進行更深入的研究和探索。在一元函數極值的基礎上，分析了其充要條件和相關定義，同時，在研究充重要條件和二元函數極值定義的基礎上，也進一步分析二元函數極值的定義及充要條件，并在此基礎上給出了一元函數極值及二元函數極值充要條件的證明。在研究中既運用了導數，又在討論函數的定義過程中引申了函數極值的充要條件，然后通過具體舉例分析的方式，探討企業最小投入增加企業利潤最大化等。

　　［關鍵詞］極大值；極小值；駐點；成本；利潤

　　關于數學的論文范文還有數學專業方向有哪些期刊推薦，您可以點擊并前往查看。

　　一、函數的極值

　　函數極值的分析，就是要基于一元函數極值和二元函數極值的相關定義，及其相關的必要條件和充分條件，進一步探索其應用價值。

　　（一）一元函數極值的定義

　　定義1：當y=（fx）在x0某一鄰域內，則不同于x0的任意點x都有：（1）（fx）（fx0），那么稱（fx0）是（fx）的極小值，x0稱之為（fx）的極小值點。

　　（二）函數極值存在的條件分析

　　1.必要條件定理若函數（fx）在x0可導，而且在x0處可以得到極值，那么f（′x0）=0。證明：假設（fx）在x0可導，（fx0）是極大值，由極大值定義知，在x0的某鄰域內部，對于任意x≠x0，均有（fx）x0時，（fx）-（fx0）x-x0>0；那么當x0；那么當x>x0時，f′（x0）x0時，f′（x0）>0，那么（fx）在點x0可以得到極小值（fx0）；（3）若x從x0左側變化到右側時，f（′x0）不變號，那么（fx）在x0處無極值。

　　3.極值存在的第二充分條件定理假設（fx）在點x0的某領域內部一階可導，而且f（′x0）=0，f（″x0）≠0（1）若f（″x）0，那么（fx）在x0可以得到極小值。證明：由于f（″x）0那么當x>x0時，f（′x）<0由以上分析可以知道，（fx0）是（fx）的極大值。

　　二、關于二元函數的定義和極值的分析

　　（一）定義

　　定義2：若函數（fx，y）在點M（0x0，y0）的某個領域內部成立不等式（fx，y）≤（fx0，y0）那么稱（fx，y）在M0取到極大值（fx0，y0），點M（0x0，y0）稱之為函數（fx，y）的極大點；類似地，如在點M（0x0，y0）的某個鄰域內部成立不等式（fx，y）≥（fx0，y0）那么稱（fx，y）在點M0取到極小值（fx0，y0），點M0稱之為函數（fx，y）的極小點。

　　從定義可見，若（fx，y）在點M0有一極值，那么，固定y=y0后的一元函數（fx0，y0）必在點x0有極值。則：鄣（fx，y0）鄣x｜x=x0=0同理可知鄣（fx0，y）鄣y｜y=y0=0，對（fx，y），則在點M（0x0，y0）存在極值的則必須具體如下條件：鄣（fx0，y0）鄣x=鄣（fx0，y0）鄣y=0所以df（x0，y0）=0。

　　（二）二元函數極值的定義分析

　　定義1假設函數z=（fx，y）在點（x0，y0）的某一鄰域內部有定義，對于該鄰域內部不同于（x0，y0）的任意一點（x，y），如果（fx，y）（fx0，y0），那么稱函數在（x0，y0）有極小值；極大值、極小值統稱之為極值。使函數可以得到極值的點稱之為極值點。定理1（必要條件）假設函數z=（fx，y）在點（x0，y0）具有偏導數，而且在點（x0，y0）處有極值，那么它在該點的偏導數必然是零，即f（xx0，y0）=0，f（yx0，y0）=0。定理2（充分條件）假設函數z=（fx，y）在點（x0，y0）的某鄰域內部有直到二階的連續偏導數，又f（xx0，y0）=0，f（yx0，y0）=0。令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C（1）那么AC-B2>0時，函數（fx，y）在（x0，y0）處有極值，而且那么當A>0時有極小值（fx0，y0）；A<0時有極大值（fx0，y0）；（2）那么當AC-B2<0時，函數（fx，y）在（x0，y0）處沒有極值；（3）那么當AC-B2=0時，函數（fx，y）在（x0，y0）處可能有極值，也可能沒有極值。

　　三、函數極值在高等數學中的應用方式

　　（一）最小平均成本

　　假設成本函數是C=C（Q）平均成本函數是C（Q）=C（Q）QC（′Q）=C（′Q）Q-C（Q）Q2若使平均成本在Q0處可以得到極小值，應有C（′Q0）=0，即C（′Q0）Q0-C（Q0）=0，C（′Q0）=C（′Q0）例2假設某產品的成本函數是C（Q）=14Q2+3Q+400（萬元），問產量是多少時，該產品的平均成本最小？求最小平均成本。解：平均成本函數是C（Q）=14Q+3+400QQ∈（0，+∞）C（′Q）=14-400Q2令C（′Q）=0，得駐點Q=40，由C（″Q）=800Q3>0可知C（Q）在Q=40處有極小值，且是（0，+∞）內部的唯一極值，即是最小值。C（Q）=14*40+3+40040=23（萬元）所以：產量是40單位時，成本應該是23萬元/單位。例3假如又一個長方體的整體容積為V，如果要設計用料最少？這一題目的要求也就是達到材料的最小化的內容，達到建造長方體盒子的目的。解：假設長度為X，寬是y，那么高是Vxy，整體面積為：S=2（xy+Vx+Vy）.這是關于x，y的二元函數。定義域是D=（鄣∈x，y）｜x>0，y>0.由鄣S鄣x=2（y-Vx2），鄣S鄣y=2（x-Vy2），得駐點（V3姨，V3姨），駐點就是S；當x=y=z=V3姨時，函數S可以得到最小值236V時，所使用的材料最少。

　　（二）工廠常規的利潤最大化的計算途徑

　　如果假設函數R（Q）是企業的收益，函數是C（Q）是企業的最少成本，由此計算，工廠在常規的生產過程中，怎樣實現最高的利潤，函數為：L（Q）=R（Q）-C（Q）L（′Q）=R（′Q）-C（′Q）是使利潤達到最大，其L（′Q）=0，有R（′Q）=C（′Q）例1某一企業生產的產品的整體需求函數為Q，問：企業生產的產量和價格達到多少時，該企業的商品的成本可以達到C（Q）=5Q+200（萬元），收益為：R（Q）=10Q-0.01Q（2萬元），問：利潤達到最大化如果用材？解：L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200Q∈（0，+∞）L（′Q）=5-0.02Q令L（′Q）=0，得駐點Q=250（臺），由L″（Q）=-0.02<0知函數有極大值，即L（250）=425（萬元）由于上解題思路可以得到，250臺以上企業才能使利潤達到425萬的最大值。例2某一企業整體需求函數為P=240-0.2Q，計算其成本函數則可以為，C（Q）=80Q+2000（元），問：產品利潤最大化同時計算出最大利潤？解：收益函數是R（Q）=P（Q）=Q（240-0.2Q）=240Q-0.2Q2Q∈（0，+∞）利潤函數是L（Q）=160Q-0.2Q2-2000L（′Q）=160-0.4Q令L（′Q）=0，得駐點Q=400，由L（″Q）=-0.4<0由此可以得到函數在Q=400處可以得到極大值，由此可以得到，L（400）=160×400-0.2×4002-2000=30000，P=240-0.2×400=160（元）因此那么當產量是400單位，價格是160/單位時，最大利潤是30000元。

　　四、結束語

　　函數極值在現實生活中有很多的應用價值，特別是函數極值在高等數學中的應用更為廣泛。通過函數極值相關理論和實用中的變化情況，能夠獲得解決問題的最佳策略，特別是通過對極值的分析和運用，能夠把握經濟市場形勢下獲得最佳的經濟效益。通過探究函數極值與現實生活的密切關系，和實際生活存在十分密切的聯系，以及函數極值的理論在高等數學中的應用，在解決生活中遇到的各種問題時，我們能夠將自己所學習到的數學知識運用其中，進而可以有效地解決多種難題。經過以上討論，我們可以總結出，在函數的極值的求值過程中，常規需要解決其最大和最小值問題之間的關系，特別是在實際問題解決中，要根據所遇到的實際問題，一方面要判斷其最大值和最小值是否存在，另一方面要根據所一致的條件比較及復雜條件和充分條件判斷最終的方法和結果。在這個過程中必須要結合二元函數的基本概念和相關理論，同時運用偏導數的概念和計算方法，在運用過程中，要將一元函數和二元函數進行比較和對照，弄清之間的區別和相互聯系，看看兩者之間的差異性，以及兩者之間存在的具體聯系，可以更好地理解和掌握一元函數和二元函數的內涵以及增強實際運用能力，能夠在實際生活中運用一元函數和二元函數解決問題。

　　參考文獻：

　　［1］羅楚瑩，朱祺釗，劉晶.信息與計算科學專業《數學分析》課程實踐教學探索［J］.教育教學論壇，2020（11）：209-211.

　　［2］魏育飛.數學分析與概率論的相互關系［J］.黑龍江科學，2020，11（10）：22-23.

　　［3］薛德軍.民族院校數學分析課程教學現狀分析與對策研究：以數學與應用數學（藏漢雙語）專業為例［J］.數學教育學報，2020，29（3）：91-98.

　　［4］戴玉泉.基于SPSS統計分析軟件的數學分析成績分析應用［J］.廣西質量監督導報，2020（4）：83-85.

　　［5］李曉波.線上線下相結合的混合式教學模式在數學分析教學中的探索與實踐［J］.科學咨詢（教育科研），2020（8）：31-32.

　　［6］耿彥如.如何有效調動學生學習數學分析的積極性［J］.邢臺學院學報，2020，35（3）：187-192.

　　葉美